Древний манускрипт подтвердил первенство Индии в создании математического нуля

Многолетние поиски древнейшего в мире нуля наконец-то завершены. Точку в споре археологов, математиков, историков и лингвистов поставили физики из лаборатории радиоуглеродного анализа при Оксфордском университете: им удалось датировать древнюю математическую рукопись, известную как «манускрипт из Бахшали».

История поисков древнейшего нуля невероятно увлекательна как попытка отследить концептуальные сдвиги в мышлении человечества – об этом написано множество статей и книг, авторы которых поэтично называют свои изыскания «математической одиссеей».

«Сегодня мы воспринимаем ноль как должное, как самое обычное число, используемое ежедневно. Мы привыкли к тому, что весь современный цифровой мир основан на принципе «ничто/нечто», «ноль/единица». Но ведь были времена, когда такого числа просто не было», — заметил Маркус дю Сотой (Marcus du Sautoy), знаменитый математик из Оксфорда.

До вынесенного оксфордскими физиками «приговора» по датировке рукописи из Бахшали насчитывалось четыре претендента на звание древнейшего прародителя современного нуля. Не далее как в январе 2017 года многие СМИ почти официально объявили таковым знак нуля в виде точки, содержащийся в древнекхмерской надписи из Трапанг Прей на северо-востоке Камбоджи: «На пятый день убывающей луны эпоха Чака достигла своего 605-летия». Эту запись, вырезанную в камне, археологи датировали 687 годом нашей эры, то есть она предшествует ангкорской цивилизации.

   Фото: Древнекхмерская надпись К-127 из Трапанг Прей (Камбоджа), 687 год. Еще недавно эта точка считалась древнейшим символом нуля, предшественником современного символа 0. Фото: Amir Aczel

Еще одна надпись, вырезанная в камне, содержит символ нуля в виде точки: ее оставила после себя цивилизация, существовавшая на юге индонезийского острова Суматра, некогда испытавшая сильное влияние индийской культуры. Надпись датируется 688 годом нашей эры.

Древнейший символ нуля в виде кружка, а не точки, датируется 876 годом и был обнаружен в надписи на стене храма в индийском городе Гвалиор.

Четвертым – на самом деле первым – претендентом всегда была рукопись из Бахшали: лингвисты и математики индийского происхождения давно подозревали, что она очень древняя хотя бы потому, что текст записан на диалекте санскрита, исчезнувшем в IV веке нашей эры. Но датировать рукопись иными, более материальными методами до сих пор не удавалось из-за чрезвычайной хрупкости артефакта.

Современная история рукописи хорошо известна: в 1881 году потемневшие от времени листы березовой коры случайно откопал сельский житель в окрестностях поселка Бахшали (50 км от города Пешавар в современном Пакистане). В то время эти земли были частью Британской Индии, загадочную находку передали британским властям, а в 1902 году любопытный манускрипт, в котором быстро опознали математический текст, приобрела Бодлианская библиотека Оксфорда, где он и хранится до сих пор.

   Фото: Манускрипт из Бахшали в Бодлианской библиотеке Оксфорда. Фото: Bodleian Libraries, University of Oxford

Березовая кора в качестве носителя древней математической мудрости оказалась не лучшим выбором: от рукописи сохранилось лишь 70 небольших и очень хрупких фрагментов. Однако остатки текста неплохо читаются и давно расшифрованы. Обрывки записей содержат множество математических задач, а в них – сотни символов нуля в виде жирной точки: по мнению большинства исследователей, именно этот знак позже эволюционировал в современный символ 0.

Дело, конечно, не только в графическом символе. Ученые давно пытаются датировать один из величайших прорывов в истории математики – создание концепции нуля в его современном понимании: числа со своими правами и правилами. Подобное открытие невозможно совершить без предшествующей математической традиции. Точки-нули в манускрипте из Бахшали оказались именно такими, историческими.

Подобные открытия невозможно понять без контекста и конкретики. Начнем с датировки. Для анализа из берестяных листов рукописи были взяты три микроскопических образца (современные технологии наконец научились обходиться чрезвычайно малым количеством органики, еще несколько лет назад такое было просто невозможно). Результаты датирования оказались ошеломляющими: все три фрагмента относятся к разным эпохам. Один был датирован 680-779 годами (что совпало с общепринятой в Европе датировкой манускрипта), второй – периодом 885-993 гг., тогда как третий фрагмент, взятый из листа № 16, стал сенсацией: его датировали 224-383 годами нашей эры (см. заглавное фото).

Как мы уже упоминали, многие ученые и без применения современных технологий относили создание рукописи к III-IV веку. Например, индийский профессор математики М.Н.Чаннабасаппа, изучавший манускрипт еще в 1970-х годах, датировал его 200-400 годами нашей эры. Помимо чисто лингвистического аспекта (язык рукописи – разновидность буддийского гибридного санскрита, исчезнувшая в начале IV века), язык математики предоставил другие подсказки: например, Чаннабасаппа выделил в тексте пять специфических математических терминов, которые отсутствуют в работах великого индийского ученого Арьябхаты (476–550 гг.), из чего сделал вывод, что манускрипт из Бахшали не мог быть создан позже V века.

Джордж Джозеф (George Joseph), известный математик индийского происхождения, в своей книге «Хохолок павлина: неевропейские корни математики» делает обоснованное предположение, что «манускрипт, возможно, является поздней копией текста, созданного в первые века нашей эры».

Еще в 1930-х годах исследователи рукописи обратили внимание на разницу в почерке, словно текст записывал не один человек, а по меньшей мере пять. На одном листе переписчик даже оставил замечание по поводу ошибки в правиле, вписав свою ремарку между строк – автор оригинального текста наверняка исправил бы ошибку, взяв чистый лист бересты. Еще один переписчик оказался нерадивым неряхой – его часть текста изобилует помарками и нелепыми описками.

Европейские специалисты предлагали более поздние датировки всего манускрипта – IX и даже XII век, пребывая в уверенности, что Индия могла лишь заимствовать научные достижения у греков и арабов. Однако с этой точкой зрения никогда не соглашались лингвисты (из-за уже не раз упомянутого языка рукописи), а индийские ученые с самого начала отстаивали математическое первенство своей родины. В научных спорах использовались такие аргументы как отсутствие в манускрипте целочисленных уравнений и других математических открытий, которые быстро распространились после трудов Арьябхаты в V веке – следовательно, рукопись была создана раньше.

Радиоуглеродная датировка, с одной стороны, многое расставила по местам и однозначно подтвердила древность текста, с другой – необычный разброс дат вызвал новые вопросы, главный из которых – как листы из разных столетий оказались вместе в виде единого текста? И почему в более поздних фрагментах не отражено развитие индийской математической мысли, открытия великих ученых Арьябхаты, Брахмагупты (598–670 гг.) и других? Предсказуемо ожидается новая волна научных работ, посвященных истории математики, но уже с учетом необычной датировки манускрипта из Бахшали. 

Пока же главная новость, попавшая во все мировые СМИ – обнаружение древнейшего символа математического нуля: датировка части манускрипта III веком означает, что путь к пониманию нуля начался за несколько столетий до знаменитого сочинения индийского астронома и математика Брахмагупты «Усовершенствованное учение Брахмы» (Brāhmasphuṭasiddhānta), написанного в 628 году.

До сих пор считалось, что «Усовершенствованное учение Брахмы» — древнейший текст, в котором ноль является полноправным числом (оригинал работы, к сожалению, не сохранился). Это мнение вряд ли изменится даже после датировки рукописи из Бахшали – все же Брахмагупта был первым, кто наделил ноль правами числа, создав правила арифметических операций с нулем, сегодня известные каждому школьнику: 1 + 0 = 1, 1 — 0 = 1, 1 x 0 = 0. С делением на ноль Брахмагупта, впрочем, ошибся – он считал, что 1 ÷ 0 = 0. Пятьсот лет спустя другой индийский математик, Бхаскара II, предложил иной вариант ответа – не ноль, а бесконечность, и это решение полагали правильным на протяжении многих столетий. В современной математике принято считать, что любое число n ÷ 0 = неопределенность, то есть результат не определяем и не имеет смысла.

В рукописи из Бахшали ноль еще не фигурирует в качестве самостоятельного числа, однако уже пытается занять свое место в десятичной системе счисления (той самой, которую мы используем сегодня – 1234567890, тоже родившейся в Индии). Манускрипт доказывает наличие математической традиции: из заложенного в нем «зерна» позже выросла современная концепция нуля, впервые описанная Брахмагуптой в VII веке и продолжающая развиваться в наши дни.

   Фото: Один из листов манускрипта из Бахшали. Фото: Bodleian Libraries, University of Oxford

«Благодаря новейшему исследованию манускрипта мы выяснили, что уже в III веке индийские математики заложили зерно той идеи, на которой фактически строится весь современный мир», — сказал Ричард Овенден, хранитель Бодлианской библиотеки (в последние годы активно занимающийся ее оцифровкой).

Ему вторит Маркус дю Сотой: «Манускрипт из Бахшали – свидетельство рождения концепции нуля как отдельного числа со своими правами и правилами, и это революционное событие произошло в Индии».

Дю Сотой говорит о нуле из Бахшали как об идее, зачатке будущей концепции, поскольку формально символы для обозначения отсутствия (т.н. «заполнители») уже использовались в разных культурах, но их эволюция прекратилась по разным причинам. Еще 5000 лет назад в Шумере, а затем и в древнем Вавилоне существовал особый символ в виде двух маленьких клиньев для обозначения пустующей позиции в записи числа – как в современном примере «101» (ноль обозначает отсутствие десяток). Египетскому нулю, разделявшему положительные и отрицательные значения, не меньше 4000 лет. У древних китайцев не было символа нуля, но это не помешало им создать позиционную систему счисления и успешно работать с дробями и уравнениями. Независимо от всех, на другом континенте, в первые века нашей эры майя создали собственную сложную календарную систему, в которой использовали стилизованный символ панциря черепахи для обозначения отсутствия, «пустого места».

Греческие астрономы для той же цели – обозначения пустой позиции – использовали букву ο, омикрон (с этой буквы начиналось слово «оуден», ничто). Однако, несмотря на ультрапередовые для своего времени познания в математике и геометрии, у древних греков не было символа нуля. Знак для обозначения «пустого места» был, а символа нуля и даже зачатков концепции такого числа не было. То, что в наши дни кажется абсолютно очевидным, пробивало свой путь в Европу чрезвычайно долго и трудно. Слишком разные культуры, слишком разное мышление. В Европе распространение индийской (вернее, уже индийско-арабской) системы счисления началось только в XII-XIII веках (!), и произошло это благодаря сыну итальянского торговца, который однажды заинтересовался математическими познаниями восточных купцов. Этого человека, ставшего первым великим математиком Европы, звали Леонардо Пизанский (1170-1250): в наши дни он больше известен под своим прозвищем, Фибоначчи.

«Идея и символ нуля восходят к индийской культуре, которая издревле находила блаженство в постижении пустоты, бесконечности. Удивительно осознавать, насколько философские традиции народа оказались важны в сотворении великих математических открытий», — заметил дю Сотой. В Европе, по его же словам, подобные культурные основания просто отсутствовали.

«Европейцы, даже когда им представили уже готовый ноль, продолжали сопротивляться – "зачем вообще нужно число для ничего?"», — смеется дю Сотой, а его коллега Дэвид Чивалл, сотрудник оксфордской лаборатории радиоуглеродного анализа, в коротком видео о датировке манускрипта из Бахшали приводит немного анекдотический пример: «Это как если бы незнакомец подошел к тебе и спросил – «сколько коров на твоем лугу?», а ты такой «что за глупости, нет тут никаких коров», а он тебе – «неверно, на лугу ноль коров!», и это, на самом деле, совершенно революционная идея». Маркус дю Сотой назвал этот концептуальный сдвиг «прыжком веры», «прыжком в абстрактное». 

Возвращаясь к рукописи из Бахшали, ученые до сих пор точно не знают, с какой целью был создан этот манускрипт. Он сильно отличается от всех известных древнеиндийских работ по математике: во-первых, текст написан «прозой», тогда как общепринятой формой изложения была поэтическая; во-вторых, его содержание сугубо математическое, без лирических и прочих отступлений, характерных для древнеиндийских научных трудов; в-третьих, текст очень подробный и даже многословный, по сравнению с поэтическими, но достаточно лаконичными работами других авторов, которые ограничивались кратким изложением правил и крайне редко приводили примеры. Тогда как рукопись из Бахшали выстроена по четкой схеме:

1) Изложение правила (сутра),
2) Изложение примеров (удахарана),
3) Демонстрация действия правила (карана).

Уникальность артефакта несколько осложняет понимание его назначения. Одни исследователи полагают, что текст представлял собой математику в чистом виде, работу «ученого для ученых», тогда как другие уверены, что манускрипт из Бахшали служил своеобразным пособием по математике для торговцев: «основное содержание текста – практические задачи на тему "это купил, это продал, сколько в итоге получилось?"», — поясняет дю Сотой.

«Учебник» содержит такие разделы как дроби, извлечение квадратного корня, арифметические и геометрические прогрессии, «правило трех» (если три элемента пропорции известны, то всегда можно найти четвертый), простые уравнения, системы линейных уравнений, квадратные уравнения, неопределенные уравнения второго порядка, вычисления площади и объема, доходы и расходы, прибыль и убыток… Иными словами – превосходная арифметика, немного геометрии и довольно продвинутая алгебра, по уровню знаний на столетия опередившая арабскую алгебру IX века.

Вот пара задач из рукописи Бахшали:

У одного купца есть 7 лошадей асава, у второго – 9 лошадей хайя, у третьего – 10 верблюдов. Каждый отдает пару своих животных, по одному животному каждому из своих сотоварищей. После этого их состояние в денежном выражении уравнивается. Вычислите стоимость каждого животного и общую стоимость животных во владении каждого из трех купцов.

Это один из примеров неопределенного (диофантова) уравнения, содержащего более одного неизвестного. У этой задачи есть несколько вариантов решения. У другой задачи решение одно:

Царю прислуживают два мальчика-пажа. Один за свою работу получает 13/6 динаров в день, второй – 3/2. Первый должен второму 10 динаров. Рассчитайте, через сколько дней суммы в их владении сравняются.

В манускрипте из Бахшали для решения этой задачи используется «правило трех», ответ – через 30 дней денежные накопления мальчиков-пажей сравняются, у каждого будет по 55 динаров.

В современной записи задач и их решений невозможно обойтись без символа нуля. Рукопись из Бахшали пестрит крупными точками, которые в одних случаях обозначают ноль, в других – неизвестное (современный х). При этом в рукописи есть задача, ответ на которую – ноль, однако место ответа оставлено пустым. Эта особенность всегда интриговала исследователей, словно они получили возможность в реальном времени наблюдать становление идеи: обозначения нуля (отсутствия, пустоты, «сунья») и неизвестного еще не полностью разделились и используются параллельно в одном и том же тексте.

   Фото: Древнейший символ нуля (точка) на листе № 16 манускрипта из Бахшали, датированный III-IV веками нашей эры.

   Фото: Bodleian Libraries, University of Oxford / National Geographic

Любопытно, что в Индии «двойное» значение символа сохранилось до сих пор – и пустота, и неизвестность. По мнению многих ученых, это лишнее доказательство того, что философская концепция нуля действительно родилась в Индии: ноль как пустота (отсутствие всего), ноль как «дыра» (отсутствие чего-либо), ноль как заполнитель пустого места, ноль как нейтральная позиция между разнонаправленными процессами и, наконец, ноль как число.

Всё одарено смыслом у того,
У кого пустота имеет смысл;
Всё лишено смысла у того,
У кого пустота не имеет смысла.
Нагарджуна (II век н.э.), «Муламадхъямака-карика», XXIV, 14. Перевод В.П.Андросова

Развитие концепции нуля в математике открыло для человечества невероятные возможности познания – изучение бесконечности, вакуума в квантовой физике, рождения и смерти Вселенной… Теперь мы знаем, где и когда это началось: с невзрачной точки на хрупкой 1700-летней бересте из Бахшали.

Источник