Геометрия Великой пирамиды
Простые геометрические соотношения между элементами внутреннего строения пирамиды Хеопса позволяют получить представление о первоначальном замысле древних архитекторов.
16 сентября 2002 года в прямом эфире канала National Geographics маленький робот по имени Pyramid Rover передал изображение, запечатлевшее то, что находится за т.н. "дверью Гантенбринка", обнаруженной в 1993 году в одной из узких 20-сантиметровых шахт, пронизывающих пирамиду Хепса. За 9 лет неутихающих споров были высказаны разные предположения о назначении шахт и "секретной двери". Некоторые считали, что шахты внутри пирамиды предназначены для вентиляции, другие говорили об их символическом назначении, третьи усматривали технические функции, кто-то обращал внимание на специальные акустические свойства, способные вызывать психоделические явления. Классические египтологи уверяли, что за "дверью" не может быть ничего, в лучшем случае - сердаб, маленькая статуя фараона, символизирующая его душу - "Ка". Другие надеялись найти за дверью секретную камеру, заполненную древними артефактами, возможно, имеющими внеземное происхождение...
Фото 1. Дверь Гантенбринка, фото 1993 года
Фото 2. По ту сторону двери, 16.09.2002
В действительности, за дверью Гантенбринка оказалась еще одна дверь, точнее - неполированный блок. Как и следовало ожидать, Египетский совет по древностям не стал продолжать исследования, объявив о том, что "надо подумать, что делать дальше". Тем временем робот, исследовавший еще одну шахту, идущую из т.н. камеры царицы, обнаружил в ней копию "двери Гантенбринка" с такими же медными штырями и примерно на таком же расстоянии (60м) от начала шахты. На этом экспедиция, взбудоражившая весь египтологический мир, завершилась, оставив египтологов и любителей в еще большем неведении относительно назначения шахт и "дверей" в загадочной пирамиде.
Фото 3. Дверь в нижней северной шахте, 20.09.2002г.
Вот что на сегодняшний день известно о единственном из сохранившихся семи чудес света - пирамиде Хеопса: построена примерно 4500 лет назад во времена IV династии фараонов Древнего Египетского Царства, высота - 146.5 м (сейчас примерно 8м верхушки отсутствует, как и внешняя облицовка), длина стороны - 230.5м . Пирамида выложена из 2.5 миллионов блоков песчаника весом от 0.5 до 2 тонн . Внутри пирамиды (рис.1) находится три камеры. Нижняя подземная камера (с) расположена в 30 метрах под центром основания пирамиды. В нее ведет коридор (b) длиной 105м под углом 26.52° от входа, расположенного на высоте 17м от основания северной стороны. Первая надземная камера ((f), так называемая "Камера Царицы") находится на центральной оси пирамиды на высоте 21.2м выше основания. Вторая надземная камера (j), "Камера Царя" размерами 5.25х10.47м с потолком 5.85м, находится на высоте 42.95м и сдвинута к югу от центральной оси пирамиды на 11.02м. Стены и крыша "Камеры Царя" и пяти расположенных над нею "разгрузочных камер" (k) выложены из гранитных блоков весом до 40 тонн. В верхнюю камеру ведет "Большая галлерея" (h) длиной 47.8м, высотой 8м и шириной 2.09м, наклоненная под углом 26.22°.
Внутри "Камеры Царицы" имеется ступенчатая ниша высотой 4.67м; возможно, именно в ней была первоначально расположена статуя фараона - сердаб, являющийся обязательным атрибутом гробниц древнеегипетских царей. Собственно говоря, местонахождение статуи в этой камере дает возможность египтологам обсуждать символический смысл нижних шахт: согласно воззрениям древних египтян, общение с миром мертвых, миром богов должно происходить через "фальшивые двери", являющиеся на самом деле символами дверей, в то время как сердаб - символическое изображение человека, должно сохранить душе ее собственное "Я".
Согласно Марку Лехнеру, одному из крупнейших специалистов в области египтологии, нижние шахты предназначены для души фараона - его "Ка", летящей одновременно в двух направлениях: на север, в мир неисчезающих вечных звезд Дуат, и на юг, к Ориону, олицетворяющему великого египетского бога мертвых Осириса. Дуат - область звезд, которые никогда не заходят за горизонт, расположенных в окружности 30° вокруг оси вращения небосвода (30° - широта, на которой находится пирамида, так что звездная ось вращения , где сейчас находится Полярная Звезда, имеет склонение 30° к горизонту). Хотя последние высказывания Лехнера несколько не согласуются с астрономическими данными о положении звезд 4500 лет назад, позиция выдающегося египтолога является знаковой: еще недавно классическая египтология вообще стремилась уйти от вопроса о назначении шахт, объявляя две нижние шахты чуть ли не вовсе архитектурной ошибкой или результатом изменения первоначального плана строительства.
Как бы то ни было, времена Древнего Царства IV династии продолжает оставаться "черным ящиком" для историков и археологов. До сих пор нет ясных свидетельств, являются ли пирамиды в Гизе гробницами фараонов, храмами-гробницами или храмами древней религии, смысл которой до сих пор неясен. Загадкой остается и уровень древних математических, астрономических и архитектурных знаний: судя по совершенству, точности и огромным масштабам пирамиды Хеопса, он был удивительно высок. Так, огромное 230-метровое сооружение высотой в 50-этажный дом было строго, до сантиметров и сотых долей градуса сориентировано вдоль оси север-юг; точность обработки стыков гранитных плит меньше толшины человеческого волоса; ошибка в расположении "Камеры Царицы" относительно вертикальной оси пирамиды составляет 0.76 cм .
Всё это позволяет говорить о существовании чёткого архитектурного плана древних строителей, понимание которого могло бы приблизить нас к разгадке многих тайн пирамид Гизы. Многочисленные попытки обнаружить этот план пока не увенчались успехом; тем не менее, многие убеждены, что такой план существует. Но вернемся к плану внутренних помещений 1й пирамиды; возможно, понимание архитектурных принципов ее построения позволит в дальнейшем расшифровать и план Гизы.
Что касается таинственных дверей в нижних шахтах, то может оказаться, что они ведут в "несвященные" технические помещения пирамиды. Не исключено, конечно, что существует проход из этих помещений в верхнюю часть пирамиды, где, возможно, до сих пор сохранилась в неприкосновенности главная священная камера.
Рудольф Гантенбринк в своей статье "Ascertaining and evaluating relevant structural points using the Cheops Pyramid as an example" предложил следующие приближения для некоторых угловых величин геометрических элементов пирамиды Хеопса:
Угол пирамиды =atan(14/11) =51.842 градусов (см.также работы Герасима Андреева);
Угол наклона верхней северной шахты= atan(7/11) = 32.471 градусов .
Очевидно, тангенс второго угла равен или по крайней мере очень близок к 1/2 тангенса угла наклона граней пирамиды (действительное значение, измеренное Гантенбринком, составляет 32.6 градуса). Геометрически это могло бы означать, что шахта проходит через вертикальную ось пирамиды на 1/2 ее высоты. На самом деле это не так, пересечение шахты с осью находится на высоте чуть меньше 1/3 расстояния от поверхности до вершины пирамиды (рис.2). Но геометрическая конструкция внутренних помещений пирамиды не ограничивается уровнем поверхности, ходы и помещения есть и под землей.
Рис.2
Ч.Ф. Петри в 1883 году связывал углы наклона восходящего и нисходящего коридоров, равные соответственно 26.22° и 26.52° с теоретическим значением угла 26.56° прямоугольного треугольника с катетами 2:1. На рис.3 изображен прямоугольник 2:1, диагонали которого совпадают с основными коридорами пирамиды; связь этого прямоугольника с верхней северной шахтой очевидна.
Рис.3
На рис.4. представлено возможное построение, увязывающее положения и углы наклона коридоров и шахт. Верхние шахты выходят на поверхность на 2/3 высоты "большой пирамиды"; место расположения "двери Гантенбринка" соответствует 2/3 высоты прямоугольника, диагональ которого совпадает с нижней южной шахтой, где находится дверь.
Рис.4
Согласно многим теориям, базовый угол пирамиды составлял 51.8428, то есть atan(14/11). У древних египтян cуществовало понятие "секед", очень напоминающее по смыслу наш современный тангенс, то есть отношение катетов прямоугольного треугольника. Древние архитекторы сказали бы, что секед пирамиды Хеопса равен 14 к 11, а секед второй пирамиды (Хефрена) составляет 4 к 3 (угол второй пирамиды равен 53.13°=atan(4/3) .
1. Известно, что уровень камеры царя Hkc с высокой точностью соответствует высоте пирамиды Hp, деленной на квадратный корень из двух: Hkc=Hp(1-1/sqrt(2)). Как отметил Ливио Стеччини в книге "Пирамиды Египта" , высота расположения камеры царя соответствует "линии полуповерхности" пирамиды, на которой площадь горизонтального сечения пирамиды Skc равна половине площади основания : Sb=2Skc.
2. Далее, можно установить связь между расположением восходящего и нисходящего пассажей и уровнем поверхности. Из середины основания пирамиды проведем перпендикуляр к одной из сторон и построим ромб, в котором сторона пирамиды и перпендикуляр к ней будут диагоналями. Длинная сторона ромба является также большей стороной треугольника, нижний катет которого проходит через точку пересечения линии нисходящего коридора (наклон 26.56?, секед 1:2) с вертикальной осью пирамиды.
3. Положим, большой треугольник имеет длины сторон 14 и 11. При этом оказывается, что расстояние от поверхности земли до вершины пирамиды составляет в точности 11 9/28, то есть 317/28, при том, что 317=142+112, тогда как расстояние между вершиной и уровнем камеры царя равно ровно 8. Теперь, если 317/28 разделить на 8, можно получить дробь 317/224, являющуюся очень хорошим приближением для вычисления корня из двух с точностью до 0.9993 о.е.
Кроме того, точки выхода на поверхность верхних шахт оказываются на расстоянии по горизонтали ровно 4 от оси пирамиды, а верхняя северная шахта в точности соответствует диагонали прямоугольника со сторонами 12 и 12*14/11, ось которого совпадает с осью пирамиды.
4. Итак, могут быть получены геометрические построения, определяющие основные элементы пирамиды. Верхняя северная и нижняя южная шахты построены по диагоналям прямоугольников 12x15 3/11 и 12х20, описанных вокруг пирамиды (см.рис.4) . Верхняя южная шахта построена на диагонали квадрата 4х4, расположенного на 4*14/11 "единиц" ниже вершины пирамиды.
Расположение камеры царицы (позиция 1 на рис.) соответствует 1/2 высоты восходящего пассажа, то есть уровню камеры царя минус высота "большой ступени" в конце Большой галлереи. Эта ступень, возможно, является результатом того, что наклон восходящего пассажа составляет не 26.5651? (1:2), а только 26.22 .
Камера царя (поз.2) отклонена от оси пирамиды на 21 локоть (11.01м). Эта величина может быть связана с расположением неоткрытой камеры (поз.4), в которую ведет технический коридор наклоном 1:2 , проходящий в непосредственной близости от "двери Гантенбринка" (поз.3). Возможно, этот коридор когда-то выходил непосредственно на южную сторону пирамиды на высоту 7 7/11, считая от вершины пирамиды.
На последнем рисунке представлено наложение описанных выше геометрических построений на электронный чертеж пирамиды, взятый с сайта Рудольфа Гантенбринка www.cheops.org (положения камер дополнительно уточнены по Петри). Копию чертежа в формате .wmf можно взять здесь.
Было бы соблазнительно искать какие-то сакральные закономерности в представленных выше построениях; можно, например, попробовать увязать их с небесной механикой, с расположением созвездий и солярными траекториями: не зря ведь древние египтяне считали пирамиду Хеопса олицетворением "первичного холма", священной горы Меру. Но любые ассоциации подобного рода будут неизбежно носить спекулятивный характер: ведь звездное небо - неисчерпаемый источник данных, который легко использовать для "подтверждения" каких бы то ни было гипотез.
Тем не менее, есть основания считать, что разгадка геометрии и внутренней структуры пирамиды Хеопса не так уж далека. Через год или около того председатель Египетского Совета по древностям Захи Хавасс согласится на продолжение исследований. Возможно, после извлечения каменных пробок в глубине пирамиды откроются древние алтари с сердабами Хеопса, на что рассчитывают многие египтологи. Но почему тогда нижние выходы шахт заложены наглухо? Ведь в гробницах всегда присутствовали изображения или ниши "фальшивых дверей": здесь же на стенах камеры нет никаких указаний для "Ка" фараона, которые могли бы помочь его душе в поиске путей к звездам... Другая гипотеза - о нахождении скрытых гробниц в концах нижних шахт - также маловероятна: слишком близки они к внешней поверхности пирамид. Скорее, за "дверями" могут быть найдены какие-то технические помещения или ходы, ведущие вглубь пирамиды - если, конечно, они не были замурованы еще в глубокой древности.
Но вернемся к измеренной величине основания пирамиды, равной 9068 дюймов. Если считать, что основание отмерялось тем же самым измерительным инструментом, что и внутренние камеры, длина основания составила бы 439.87 локтей. Эта величина близка к 440, так что можно было бы считать разницу в 0.13 локтя строительной ошибкой. Но точность сооружения настолько велика, что разница между длинами сторон основания меньше предполагаемой ошибки. Петри, считал, что древние строители ввели специальную поправку к базовому числу 440, чтобы достичь величины, более близкой к 1/2 длины окружности, диаметр которой равен высоте пирамиды, то есть 280 локтей. Теоретически, такая поправка должна была составить 440-280/2*pi=0.177 локтя или примерно 1 ладонь 1 палец при "точной" длине сторон основания 439.823 локтя. Петри не заметил, однако, одной детали, которая может иметь важное значение: если стороны основания равны 439.823, то диагональ составит 622.0036 локтя. Вполне возможно, что, как и в случае с высотой Камеры Царя, архитекторы выразили в целых числах не сторону, а диагональ! Тем более, что длина стороны горизонтального сечения пирамиды на уровне KC равна 311=622/2 локтя.
Число 311 может подсказать, откуда древним египтянам удалось узнать настолько точное значение pi: не исключено, что они просто измерили с высокой точностью длину окружности диаметра D, получив число pi как соотношение между длиной окружности и ее диаметром. Вспомним, что слово "геометрия" в переводе с греческого означает измерение земли, а древние египтяне с давних пор были искусными землемерами.
Джон Легон утверждает, что соотношение 22/7 как приближение к числу pi имеет "естественный" характер, связанный с системой измерений древних египтян, в которой которой базовая единица, локоть, делилась на 7 ладоней. Действительно, длина окружности диаметром 1 локоть=7 ладоней равна приблизительно 22 ладони. Аналогично, диагональ квадрата со стороной 10 локтей=70 ладоней составляет приблизительно 99 ладоней. Кроме того, как будет показано ниже, длина окружности, описанной вокруг квадрата со стороной 10 локтей, очень близка к 311 ладоням.
Проверим, насколько точны эти приближения.
1. Длина окружности диаметром 10 локтей=70 ладоней
l=pi*d=pi*70=219.915~220
e=0.04%
Возможно, древние египтяне смогли обнаружить расхождение в 0.09 ладони =0.6 см, измеряя окружность длиной примерно 16.5 метра .
2. Диагональ квадрата со стороной 10 локтей = 70 ладоней
d=sqrt(2)*70=98.995~99
e=0.005%
На этот раз ошибка составляет 0.005 ладони или 0.03 см . Но в данном случае обнаружить погрешность проще, поскольку измеряется прямая линия.
3. Длина окружности, описанной вокруг квадрата со стороной 10 локтей=70 ладоней
l=pi*d=pi*a*sqrt(2)=pi*70*sqrt(2)=311.0018~311
e=0.0005%
Теперь требуется измерить погрешность в 0.0018 ладони, что составляет всего лишь 0.013 см, при общей длине окружности 23.3 м . Можно с уверенностью предположить, что древние египтяне не могли измерять кривые с точностью до 0.0005%, следовательно, они вполне могли считать, что представленное построение есть точное решение задачи "квадратуры круга". Следует отметить, однако, что в выражение входит иррациональное число sqrt(2); если вместо него использовать приближение 99/70, то число pi может быть выражено в виде 311/99=3.141414, что дает относительно большую погрешность вычисления.
4. Диагональ квадрата со стороной 99 ладоней
d=sqrt(2)*99=140.0071~140
e=0.005%
Интересно, что ошибка в данном случае равна по величине, но обратна по знаку ошибке из п.2, так что
(99/70+140/99)/2=1.414214
дает приближение к корню квадратному из двух с точностью вплоть до девятого знака!
Предположим, древние египтяне хотели создать пирамиду, периметр основания которой был бы равен длине окружности радиусом в высоту пирамиды. Высота пирамиды берется равной 280=4*70; в основание кладется квадрат с диагональю 622=2*311. При этом периметр основания p=4*2*311/sqrt(2); а длина окружности l=2*280*pi=2*4*70*pi=2*4*311/sqrt(2) согласно п.3 . Таким образом p=l , - требуемое условие достигнуто: периметр основания равен 1759.282=2488/sqrt(2), а длина круга составляет 280*pi=1759.292, что соответствует 2488/sqrt(2) c погрешностью менее 0.0005% .Отметим, что архитекторы пирамиды таким образом обошли проблему иррациональнсти sqrt(2). Если бы пирамида проектировалась с другими базовыми параметрами, например, с шириной основания a=400 локтей, то высоту пришлось бы вычислять по формуле h=4a/pi~4*400/(70*sqrt(2)). Чтобы избежать иррациональности в конструируемых измерениях, архитекторы просто ввели ее в исходные данные, положив a=622/sqrt(2).
Таким образом, строители планировали площадку, измеряя диагонали, а не стороны. Это позволило к тому же контролировать положение центра, что представляется немаловажным для решения практической строительной задачи сведения граней в вершине пирамиды. Малейшее отклонение от центральной оси пирамиды могло бы вылиться в катастрофическую строительную ошибку; измеряя диагонали и отслеживая точку их пересечения, а также равенство боковых сторон, строители имели возможность безошибочно отслеживать положение углов относительно центра.
Рис.3 Периметр основания пирамиды равен длине окружности, радиус которой равен высоте пирамиды.
Чтобы убедиться в том, что древние архитекторы руководствовались подобными построениями, достаточно еще раз взглянуть на внутреннее устройство пирамиды. Стеккини заметил, что главная камера пирамиды (Камера Царя, KC) находится на такой высоте над поверхностью, на которой площадь горизонтального сечения пирамиды вдвое меньше площади основания (рис.4).
Рис.4. Уровень Камеры Царя находится на Ö2/2 высоты пирамиды по отношению к ее вершине
Иными словами, камера расположена на высоте, равной Hkc=Hp(1-1/sqrt(2)). Согласно п.2, эта высота должна составить 280-99*2=82 cu, фактическая измеренная величина равна 82.08 локтей дает погрешность не более 4.5 см . Далее, Легон показал, что положение и наклон верхних и нижних шахт можно с большой точностью связать с простой геометрической конструкцией, основанной на трех квадратах со сторонами 198 локтей (см.рис.5). В частности, горизонтальное сечение пирамиды в точках выхода верхних шахт составляет 198=99*2 локтей.
Рис.5. Наклон шахт, выходящих из внешних камер, точно соответствует конструкции из трех квадратов со сторонами 198 локтей
Назначение шахт внутри пирамиды до сих пор неизвестно. Модную в прежние времена теорию о том, что шахты могли использоваться для вентиляции усыпальных камер (?), теперь сменяют различные астрономические подходы. Действительно, можно связать ориентацию шахт с различными звездами. В соответствии с ритуалом, две части души, Ка и Ба, должны были бы соединиться, чтобы душа обрела бессмертие. Древние египтяне представляли Ка и Ба в виде птиц с человеческими головами, живущих в небесах среди незаходящих вечных звезд Севера и созвездий Юга. Но звезды севера и юга заглядывают в шахты неодновременно; если бы древние египтяне считали, что Ка или Ба нуждаются в шахтах, чтобы добраться до образа Рен (статуи или мумии), им пришлось бы придумать какие-нибудь силки, чтобы удержать птичку, прилетевшую первой, до появления второй. Судя по всему, Ка и Ба должны были соединиться вне Рен; впрочем, у нас слишком мало фактов о религии и верованиях Древнего Царства, чтобы что-либо утверждать. Важно, что ни в одной другой пирамиде или захоронении подобных шахт не обнаружено.
Как бы то ни было, геометрическая интерпретация шахт существует и выглядит, на наш взгляд, достаточно убедительно. Возможно, эта геометрия каким-то образом отображает астрономические воззрения древних египтян; если так, то архитекторам безусловно удалось связать воедино космологию и геометрию "звездных" или "вентиляционных" шахт.
В целом, основные параметры внешней и внутренней структуры пирамиды характеризуются величинами и построениями, представленными на рис.6 и в таблице 1:
Таблица 1
Теор Факт ошибка, см
Высота пирамиды: 280=140*2 cu 280 сu -
Диагональ основания: 622=311*2 622 cu -
Уровень главной камеры 82 = 2*(140 – 99) 82.08 cu 4.1
Длина стороны
горизонтального сечения
на уровне КС 311 311 -
Уровень камеры царицы 41 = 140-99 40.5...41.5 ?
Уровень входа в пирамиду 32.5=82-99/2 32.4 5.2
Вход в нижнюю камеру -58=41-99 -57.8 10.4 (?)
Точный уровень Камеры Царицы (QC) установить достаточно сложно, поскольку полы в камере отсутствуют. По некоторым предположениям, первоначально камера была устлана деревянными полами. В горизонтальном к
Часть II.
За последних полторы сотни лет пирамиды Гизы были многократно измерены, тщательно изучены и описаны. Тем не менее, до сих пор мы не смогли разобраться даже с такими , казалось бы, очевидными вещами, как система измерений древних египтян. Считается, что основной единицей длины во времена строительства пирамид был локоть, равный примерно 20.62 дюйма (52.37 см) . Локоть делился на 7 ладоней, а ладонь - на 4 пальца. Можно было бы ожидать, что геометрические размеры пирамиды и внутренних помещений должны измеряться в целых единицах - в локтях, ладонях или хотя бы пальцах. Но в действительности это не так: основание пирамиды, хорошо сохранившееся и тщательно измеренное, составляет 9068 дюймов или 439.76 локтей, то есть 439 локтей 3 ладони плюс 1/4 пальца. Другие измерения дают аналогичные результаты, за исключением размеров главного внутреннего помещения - "Камеры Царя" (KC). Согласно измерениям Петри, ширина KC составляет 216.15 дюйма, длина - 412.3 дюйма, высота - 230 дюймов. Предполагается, что ширина и высота, измеренные в локтях, должны быть равны соответственно 10 и 20; а высоту камеры многие исследователи считают равной ~11.18=10*Ö5/2 локтей. Величину Ö5/2 обычно связывают с "золотым сечением" Ф=1.618=(1+Ö5)/2; ее легко получить, приняв диагональ параллелепипеда с основанием 10x20 равной 25 (рис.1); при этом диагональ меньшей из боковых сторон параллелепипеда равна 15.
Рис 1. Размеры Камеры Царя определяются треугольником 3:4:5 (15, 20 и 25 локтей).
Но вернемся к измеренной величине основания пирамиды, равной 9068 дюймов. Если считать, что основание отмерялось тем же самым измерительным инструментом, что и внутренние камеры, длина основания составила бы 439.87 локтей. Эта величина близка к 440, так что можно было бы считать разницу в 0.13 локтя строительной ошибкой. Но точность сооружения настолько велика, что разница между длинами сторон основания меньше предполагаемой ошибки. Петри, считал, что древние строители ввели специальную поправку к базовому числу 440, чтобы достичь величины, более близкой к 1/2 длины окружности, диаметр которой равен высоте пирамиды, то есть 280 локтей. Теоретически, такая поправка должна была составить 440-280/2*pi=0.177 локтя или примерно 1 ладонь 1 палец при "точной" длине сторон основания 439.823 локтя. Петри не заметил, однако, одной детали, которая может иметь важное значение: если стороны основания равны 439.823, то диагональ составит 622.0036 локтя. Вполне возможно, что, как и в случае с высотой Камеры Царя, архитекторы выразили в целых числах не сторону, а диагональ! Тем более, что длина стороны горизонтального сечения пирамиды на уровне KC равна 311=622/2 локтя.
Число 311 может подсказать, откуда древним египтянам удалось узнать настолько точное значение pi: не исключено, что они просто измерили с высокой точностью длину окружности диаметра D, получив число pi как соотношение между длиной окружности и ее диаметром. Вспомним, что слово "геометрия" в переводе с греческого означает измерение земли, а древние египтяне с давних пор были искусными землемерами.
Джон Легон утверждает, что соотношение 22/7 как приближение к числу pi имеет "естественный" характер, связанный с системой измерений древних египтян, в которой которой базовая единица, локоть, делилась на 7 ладоней. Действительно, длина окружности диаметром 1 локоть=7 ладоней равна приблизительно 22 ладони. Аналогично, диагональ квадрата со стороной 10 локтей=70 ладоней составляет приблизительно 99 ладоней. Кроме того, как будет показано ниже, длина окружности, описанной вокруг квадрата со стороной 10 локтей, очень близка к 311 ладоням.
Проверим, насколько точны эти приближения.
1. Длина окружности диаметром 10 локтей=70 ладоней
l=pi*d=pi*70=219.915~220
e=0.04%
Возможно, древние египтяне смогли обнаружить расхождение в 0.09 ладони =0.6 см, измеряя окружность длиной примерно 16.5 метра .
d=sqrt(2)*70=98.995~99
e=0.005%
На этот раз ошибка составляет 0.005 ладони или 0.03 см . Но в данном случае обнаружить погрешность проще, поскольку измеряется прямая линия.
l=pi*d=pi*a*sqrt(2)=pi*70*sqrt(2)=311.0018~311
e=0.0005%
Теперь требуется измерить погрешность в 0.0018 ладони, что составляет всего лишь 0.013 см, при общей длине окружности 23.3 м . Можно с уверенностью предположить, что древние египтяне не могли измерять кривые с точностью до 0.0005%, следовательно, они вполне могли считать, что представленное построение есть точное решение задачи "квадратуры круга". Следует отметить, однако, что в выражение входит иррациональное число sqrt(2); если вместо него использовать приближение 99/70, то число pi может быть выражено в виде 311/99=3.141414, что дает относительно большую погрешность вычисления.
d=sqrt(2)*99=140.0071~140
e=0.005%
Интересно, что ошибка в данном случае равна по величине, но обратна по знаку ошибке из п.2, так что
(99/70+140/99)/2=1.414214
дает приближение к корню квадратному из двух с точностью вплоть до девятого знака!
Предположим, древние египтяне хотели создать пирамиду, периметр основания которой был бы равен длине окружности радиусом в высоту пирамиды. Высота пирамиды берется равной 280=4*70; в основание кладется квадрат с диагональю 622=2*311. При этом периметр основания p=4*2*311/sqrt(2); а длина окружности l=2*280*pi=2*4*70*pi=2*4*311/sqrt(2) согласно п.3 . Таким образом p=l , - требуемое условие достигнуто: периметр основания равен 1759.282=2488/sqrt(2), а длина круга составляет 280*pi=1759.292, что соответствует 2488/sqrt(2) c погрешностью менее 0.0005% .Отметим, что архитекторы пирамиды таким образом обошли проблему иррациональнсти sqrt(2). Если бы пирамида проектировалась с другими базовыми параметрами, например, с шириной основания a=400 локтей, то высоту пришлось бы вычислять по формуле h=4a/pi~4*400/(70*sqrt(2)). Чтобы избежать иррациональности в конструируемых измерениях, архитекторы просто ввели ее в исходные данные, положив a=622/sqrt(2).
Таким образом, строители планировали площадку, измеряя диагонали, а не стороны. Это позволило к тому же контролировать положение центра, что представляется немаловажным для решения практической строительной задачи сведения граней в вершине пирамиды. Малейшее отклонение от центральной оси пирамиды могло бы вылиться в катастрофическую строительную ошибку; измеряя диагонали и отслеживая точку их пересечения, а также равенство боковых сторон, строители имели возможность безошибочно отслеживать положение углов относительно центра.
Рис.3 Периметр основания пирамиды равен длине окружности, радиус которой равен высоте пирамиды.
Чтобы убедиться в том, что древние архитекторы руководствовались подобными построениями, достаточно еще раз взглянуть на внутреннее устройство пирамиды. Стеккини заметил, что главная камера пирамиды (Камера Царя, KC) находится на такой высоте над поверхностью, на которой площадь горизонтального сечения пирамиды вдвое меньше площади основания (рис.4).
Иными словами, камера расположена на высоте, равной Hkc=Hp(1-1/sqrt(2)). Согласно п.2, эта высота должна составить 280-99*2=82 cu, фактическая измеренная величина равна 82.08 локтей дает погрешность не более 4.5 см . Далее, Легон показал, что положение и наклон верхних и нижних шахт можно с большой точностью связать с простой геометрической конструкцией, основанной на трех квадратах со сторонами 198 локтей (см.рис.5). В частности, горизонтальное сечение пирамиды в точках выхода верхних шахт составляет 198=99*2 локтей.
Назначение шахт внутри пирамиды до сих пор неизвестно. Модную в прежние времена теорию о том, что шахты могли использоваться для вентиляции усыпальных камер (?), теперь сменяют различные астрономические подходы. Действительно, можно связать ориентацию шахт с различными звездами. В соответствии с ритуалом, две части души, Ка и Ба, должны были бы соединиться, чтобы душа обрела бессмертие. Древние египтяне представляли Ка и Ба в виде птиц с человеческими головами, живущих в небесах среди незаходящих вечных звезд Севера и созвездий Юга. Но звезды севера и юга заглядывают в шахты неодновременно; если бы древние египтяне считали, что Ка или Ба нуждаются в шахтах, чтобы добраться до образа Рен (статуи или мумии), им пришлось бы придумать какие-нибудь силки, чтобы удержать птичку, прилетевшую первой, до появления второй. Судя по всему, Ка и Ба должны были соединиться вне Рен; впрочем, у нас слишком мало фактов о религии и верованиях Древнего Царства, чтобы что-либо утверждать. Важно, что ни в одной другой пирамиде или захоронении подобных шахт не обнаружено.
Как бы то ни было, геометрическая интерпретация шахт существует и выглядит, на наш взгляд, достаточно убедительно. Возможно, эта геометрия каким-то образом отображает астрономические воззрения древних египтян; если так, то архитекторам безусловно удалось связать воедино космологию и геометрию "звездных" или "вентиляционных" шахт.
В целом, основные параметры внешней и внутренней структуры пирамиды характеризуются величинами и построениями, представленными на рис.6 и в таблице 1:
Таблица 1
Теор Факт ошибка, см
Высота пирамиды: 280=140*2 cu 280 сu -
Диагональ основания: 622=311*2 622 cu -
Уровень главной камеры 82 = 2*(140 – 99) 82.08 cu 4.1
Длина стороны
горизонтального сечения
на уровне КС 311 311 -
Уровень камеры царицы 41 = 140-99 40.5...41.5 ?
Уровень входа в пирамиду 32.5=82-99/2 32.4 5.2
Вход в нижнюю камеру -58=41-99 -57.8 10.4 (?)
Точный уровень Камеры Царицы (QC) установить достаточно сложно, поскольку полы в камере отсутствуют. По некоторым предположениям, первоначально камера была устлана деревянными полами. В горизонтальном к